제 2 코사인법칙

 

[ 제2 코사인 법칙 ]

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2cacosA$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2abcosA$

 

제 1코사인 법칙의 응용이다.

 

제 2코사인 법칙을 먼저 살펴보자.

 

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2cacosA$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2abcosA$

 

위 수식을 이해하기 위해서는 먼저 제 1코사인 법칙부터 보아야 한다.

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[제1 코사인 법칙]

 

$a = bcosC + ccosB$

$b = ccosC + acosB$

$c = acosC + bcosB$

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위 수식을 응용한다. 위 수식에서 각 좌변에있는 항목을 양변에 곱해보자.

 

$a^{2} = abcosC + cacosB$

$b^{2} = bccosA + abcosC$

$c^{2} = accosB + bccosA$

 

이때 각 항식에 순서대로 대입하여 빼주면 다음과같이 나타낼 수 있다.

 

$a^{2} - b^{2} - c^{2} = abcosC + cacosB - (bccosA + abcosC) - (accosB + bccosA)$

$= abcosC + cacosB - ( bccosA + abcosC) - (accosB + bccosA)$

 

를 간략하게 표현하면 다음과 같이 함축할 수 있다.

$abcosC - abcosC + accosB - accosB - bccosA - bccosA$

 

다시 줄이면

$0 + 0 - 2bccosA$

즉,

$a^{2} - b^{2} - c^{2} = -2bccosA$

인데,

 

이것을 다시 표현하면

 

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$

 

이다.

 

이 공식을 다른 b와 c에도 대입하면 다음과 같이 표현한다.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2cacosA$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2abcosA$