벡터의 내적(Dot Product)는
$\overrightarrow{a} =\left< a_{1},a_{2},a_{3}\right> \overrightarrow{b} =\left< b_{1},b_{2},b_{3}\right>$가 정의될때
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}$
으로 정의한다.
벡터 내적은 교환법칙이 성립하고, 벡터합에 대한 결합법치과 스칼라곱 에 대한 결합법칙이 성립한다.
그리고 다음정리가 사용된다.
정리1
$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 가 이루는 각의 크기를 $\Theta $ 라고 한다면,
$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = $\left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right| cos \theta$
이다.
제2 코사인 법칙은 3차원 그래프 상에서도 적용이 가능하다.
정리 1을 제2 코사인 법칙 형태로 풀어내면,
$ \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\right|^{2} = \left|\overrightarrow{a} \right|^{2} + \left|\overrightarrow{b} \right|^{2} - 2\left|\overrightarrow{a} \right|\left|\overrightarrow{b} \right| cos\theta $ 이다.
위 공식을 cos세타만 가져오도록 재정리하면,
$cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \left|\overrightarrow{b}\right|}$
이다.
즉, 우리는 영벡터가 아닌 두 벡터의 크기만 알 수 있다면, 해당 벡터가 가지고있는 수직선의 cos세타를 구할 수 있다.
이를 방향각(Direction Angle) 이라고 한다.
방향각(Direction Angle)
벡터 $\overrightarrow{a} = \left<a_{1},a_{2},a_{3}\right>$ 가 있을 때,
x축 y축 z축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 다음과 같이 이야기 할 수 있다.
$cos\alpha = \frac{a_{1}}{\left|\overrightarrow{a} \right|}$
$cos\beta = \frac{a_{2}}{\left|\overrightarrow{a} \right|}$
$cos\gamma = \frac{a_{3}}{\left|\overrightarrow{a} \right|}$
즉, 해당 vector의 각 축에대한 양의 방향을 알 수 있다는것이다.