수 a에서 함수 f(x)=x2−8x+9 의 미분계수를 구하라
limh→0[(a+h)2−8(ah)‘+9]−(a2−8a+9)h
=a2+2ah+h2−8a−8h+9−a2+8a−9h
=a2−a2−8a+8a−8h+9−9+2ah+h2h
=−8h+2ah+h2h
=−8+2a+h
=2a−8
f′(a)=2a−8
접선의 방정식
점(a,(f(a))에서 곡선 y=f(x)의 접선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
점(3,-6)에서 포물선 y=x2−8x+9 를 구하여라
Q(3,-6)을 방정식에 대입해보면
y−(−6)=f′(a)(x−3)
이때 a는 3임으로 기울기를 구하기 위해서는
f′(3) 을 구해야 한다.
위에서 미분계수가 f′(a)=2a−8임이 나왔음으로
a에 3을 대입하여 -2 가 나옴을 알 수 있다.
즉, Q(3,-6)에서의 포물선은 $ y+ 6 = -2(x-3)
다시 배치하면
y=−2x+6−6
=−2x
y=−2x
위 함수는 고정된 a라는 함수에서의 미분계수이고 임의의 수 x로 치환하여 대입하고 그것으로 도함수를 이야기할 수 있다.
f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h
a를 x로 치환하여
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h 라고 이야기 할 수 있다.
이를 도함수 라고 부른다.
또한 이러한 값들로 인해 생성된 점들을 쭉 이어서 그래프를 만들 수 있다.
만일 y=f(x) 의 그래프를 도함수를 이용하여 f'(x)그래프를 만든다고 가정해보면,

위 그래프가 y=f(x) 그래프이고 곡선의 모서리부분의 기울기 미분계수의 기울기값은 0이 나와야 하기에,

차트를 옮겨보면 이렇게 나타나게 된다.
꼭지점 A와 B 그리고 C는 각각 접점의 기울기가 0인 x축과 평행한 직선 임으로 기울기값인 a = 0 이 나오게 되어 x = 0 에 달한다.
또한, A기준 기울기가 B로 갈수록 양수가 되어야 하고
일정 값 이상 넘어가면 위 그래프의 A와 B사이의 선과 일치하고 B로 갈수록 기울기가 다시 완만해지는 현상이 나타난다.
B와 C 사이도 같은 경우로 흘러간다.
다른 예제로 살펴보면
f(x)=x3−x 일때 f′(x) 를 구하여라. 이때 f 와 f′ 의 그래프를 비교하여 설명하라.
f′(x)=limh→0[(x+h)3−(x+h)]−(x3−x)h
=limh→0x3+3x2h+3xh2+h3−x−h−x3+xh
=limh→0x3−x3+3x2h+3xh2+h3−x+x−hh
=limh→03x2h+3xh2+h3−hh
=limh→0(3x2+3xh+h2−1)
h는 0에 수렴함으로
=3x2−1

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