최적화론 2주차 도함수 [ 미분계수 응용 ]

수 a에서 함수 $ f(x) = x ^{2} -8x+9 $ 의 미분계수를 구하라

$  \lim_{h \to 0} \frac{[(a+h) ^{2} -8(ah)`+9]-(a ^{2} -8a+9)}{h} $

$  = \frac{a ^{2} +2ah+h ^{2} -8a-8h+9-a ^{2} +8a-9}{h} $

$  = \frac{a ^{2} -a ^{2} -8a+8a-8h+9-9+2ah+h ^{2}}{h} $

$  = \frac{-8h+2ah+h ^{2}}{h} $

$ =-8+2a+h $

$ =2a-8 $

$ f'(a) = 2a-8 $

 

접선의 방정식

점(a,(f(a))에서 곡선 y=f(x)의 접선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$ y-f(a)=f'(a)(x-a) $

 

점(3,-6)에서 포물선 $ y=x ^{2} -8x+9 $ 를 구하여라

 

Q(3,-6)을 방정식에 대입해보면

$ y-(-6)=f'(a)(x-3) $

이때 a는 3임으로 기울기를 구하기 위해서는

$ f'(3) $ 을 구해야 한다.

위에서 미분계수가 $ f'(a) = 2a-8 $임이 나왔음으로

a에 3을 대입하여 -2 가 나옴을 알 수 있다.

 

즉, Q(3,-6)에서의 포물선은 $ y+ 6 = -2(x-3)

다시 배치하면

$ y=-2x+6-6 $

$ = -2x $

$ y = -2x $

 

위 함수는 고정된 a라는 함수에서의 미분계수이고 임의의 수 x로 치환하여 대입하고 그것으로 도함수를 이야기할 수 있다.

$  f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $

a를 x로 치환하여

$  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $ 라고 이야기 할 수 있다.

이를 도함수 라고 부른다.

 

또한 이러한 값들로 인해 생성된 점들을 쭉 이어서 그래프를 만들 수 있다.

만일 $ y = f(x) $ 의 그래프를 도함수를 이용하여 f'(x)그래프를 만든다고 가정해보면,

 

위 그래프가 $ y = f(x) $ 그래프이고 곡선의 모서리부분의 기울기 미분계수의 기울기값은 0이 나와야 하기에,

차트를 옮겨보면 이렇게 나타나게 된다.

꼭지점 A와 B 그리고 C는 각각 접점의 기울기가 0인 x축과 평행한 직선 임으로 기울기값인 a = 0 이 나오게 되어 x = 0 에 달한다.

 

또한, A기준 기울기가 B로 갈수록 양수가 되어야 하고

일정 값 이상 넘어가면 위 그래프의 A와 B사이의 선과 일치하고 B로 갈수록 기울기가 다시 완만해지는 현상이 나타난다.

B와 C 사이도 같은 경우로 흘러간다.

 

다른 예제로 살펴보면

$ f(x) = x ^{3} -x $ 일때 $ f'(x) $ 를 구하여라. 이때 $ f $ 와 $ f' $ 의 그래프를 비교하여 설명하라.

$ f'(x) =  \lim_{h \to 0} \frac{[(x+h) ^{3} -(x+h)]-(x ^{3} -x)}{h} $

$ =  \lim_{h \to 0} \frac{x ^{3} +3x ^{2} h+3xh ^{2} +h ^{3} -x-h-x ^{3} +x}{h} $

$ =  \lim_{h \to 0} \frac{x ^{3} -x ^{3} +3x ^{2} h+3xh ^{2} +h ^{3} -x+x-h}{h} $

$ =  \lim_{h \to 0} \frac{3x ^{2} h+3xh ^{2} +h ^{3} -h}{h} $

$ =  \lim_{h \to 0} (3x ^{2} +3xh+h ^{2} -1) $

h는 0에 수렴함으로

$ = 3x^2 - 1 $

 

각 그래프는 위와 같이 나타나게 된다.

첫번째 그래프는 f(x)의 그래프이고 두번째 그래프는 f'(x)의 그래프이다.