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프로그래밍 공부
작성일
2022. 9. 6. 18:51
작성자
WDmil
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수 a에서 함수 f(x)=x28x+9 의 미분계수를 구하라

limh0[(a+h)28(ah)+9](a28a+9)h

=a2+2ah+h28a8h+9a2+8a9h

=a2a28a+8a8h+99+2ah+h2h

=8h+2ah+h2h

=8+2a+h

=2a8

f(a)=2a8

 

접선의 방정식

(a,(f(a))에서 곡선 y=f(x)의 접선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

yf(a)=f(a)(xa)

 

점(3,-6)에서 포물선 y=x28x+9 를 구하여라

 

Q(3,-6)을 방정식에 대입해보면

y(6)=f(a)(x3)

이때 a3임으로 기울기를 구하기 위해서는

f(3) 을 구해야 한다.

위에서 미분계수가 f(a)=2a8임이 나왔음으로

a에 3을 대입하여 -2 가 나옴을 알 수 있다.

 

즉, Q(3,-6)에서의 포물선은 $ y+ 6 = -2(x-3)

다시 배치하면

y=2x+66

=2x

y=2x

 

위 함수는 고정된 a라는 함수에서의 미분계수이고 임의의 수 x로 치환하여 대입하고 그것으로 도함수를 이야기할 수 있다.

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h

a를 x로 치환하여

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h 라고 이야기 할 수 있다.

이를 도함수 라고 부른다.

 

또한 이러한 값들로 인해 생성된 점들을 쭉 이어서 그래프를 만들 수 있다.

만일 y=f(x) 의 그래프를 도함수를 이용하여 f'(x)그래프를 만든다고 가정해보면,

 

위 그래프가 y=f(x) 그래프이고 곡선의 모서리부분의 기울기 미분계수의 기울기값은 0이 나와야 하기에,

차트를 옮겨보면 이렇게 나타나게 된다.

꼭지점 A와 B 그리고 C는 각각 접점의 기울기가 0인 x축과 평행한 직선 임으로 기울기값인 a = 0 이 나오게 되어 x = 0 에 달한다.

 

또한, A기준 기울기가 B로 갈수록 양수가 되어야 하고

일정 값 이상 넘어가면 위 그래프의 AB사이의 선과 일치하고 B로 갈수록 기울기가 다시 완만해지는 현상이 나타난다.

BC 사이도 같은 경우로 흘러간다.

 

다른 예제로 살펴보면

f(x)=x3x 일때 f(x) 를 구하여라. 이때 ff 의 그래프를 비교하여 설명하라.

f(x)=limh0[(x+h)3(x+h)](x3x)h

=limh0x3+3x2h+3xh2+h3xhx3+xh

=limh0x3x3+3x2h+3xh2+h3x+xhh

=limh03x2h+3xh2+h3hh

=limh0(3x2+3xh+h21)

h는 0에 수렴함으로

=3x21

 

각 그래프는 위와 같이 나타나게 된다.
첫번째 그래프는 f(x)의 그래프이고 두번째 그래프는 f'(x)의 그래프이다.
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